몬티 홀 문제

직감과 논리

둘 중 어느 것을 따라야할까?

 

나는 논리적으로 재고 따지기 보다는 직감에 따라 움직이는 경향이 있는 사람이다.

매 선택의 순간마다 왠지 모르게 조금 더 끌리는 선택지가 존재하고, 

그걸  따를 때 시원한 느낌이 있는 반면,

반대의 결정을 하려고 하면 묘하게 찝-찝 하다.

 

소위 말하는 '느낌적인 느낌'을 따르는 것을 좋아하는데,

문제는 이렇게 결정을 내려서 성공하는 경우가 별로 많지 않다는 것이다 😅

 

최근에도 비슷한 일이 있었다.

친구가 가상의 상황을 제시하며, 나라면 어떤 선택을 할지 물었다.

나는 신중하게 판단해서 내 선택을 말했지만,  

알고보니 그 선택은 당첨 확률을 33%나 떨어뜨리는 선택이었다.

 

친구가 말해준 문제는 바로 유명한 확률 역설인, '몬티홀 문제'였다.

 

[몬티 홀 문제 요약]
1. 세 개의 문 중 하나에 자동차가 숨겨져 있다.
2. 내가 문 하나를 고른다.
3. 진행자가 나머지 두 문 중 염소가 있는 문 하나를 연다.
4. 나는 남은 두 문 중 바꿀지 말지 선택한다.

 

(몬티 홀 이라는 사람이 진행하는 쇼에서 실제로 진행했던 게임이라서 몬티 홀 문제라는 이름이 붙여졌다)

 

나는 처음 선택을 고수할 것이라고 말했다.

왜냐하면 어차피 문이 두 개 남았고 자동차는 둘 중 하나에 있으니 확률은 50% 이고,

만약 선택을 바꿨는데 원래 문 뒤에 자동차가 있었으면 상실감이 훨씬 클 것 같았기 때문이다.

 

그런데 실제로는 무조건 바꾸어야 이득이다.

선택을 바꾸면 자동차를 고를 확률이 1/3에서 2/3 로 상승한다

 

왜일까?

"문이 두 개, 자동차가 하나니까 어차피 확률 1/2 아닌가?"

그렇지 않다. 왜냐하면,
- 문이 열리기 전에 이미 나의 선택은 정답일 확률 1/3, 오답일 확률 2/3로 고정되어 있었고,
- 진행자가 일부러 정답이 아닌 문을 골라 제거했기 때문에,
- 정답이 처음 선택한 문이 아닌 다른 곳에 있을 가능성 2/3 가 남은 문 하나에 그대로 집중된다

 

[파이썬 코드로 시뮬레이션]

검색을 통해 왜 확률이 저렇게 나오는지 어느정도 이해했지만

여전히 마음에서 우러나오는 공감이되지 않아서 

파이썬 코드로 확인해봤다.

from itertools import product

# 문 번호: 0, 1, 2
doors = [0, 1, 2]

results = []

# 모든 경우의 수 (정답 위치 x 처음 선택)
for prize, first_choice in product(doors, repeat=2):
    # 진행자는 염소가 있는 문 중에서, first_choice도 아니고 prize도 아닌 문을 연다
    possible_doors = [d for d in doors if d != first_choice and d != prize]
    if len(possible_doors) == 0:
        revealed = [d for d in doors if d != first_choice][0]  # 둘 다 염소면 아무거나
    else:
        revealed = possible_doors[0]  # 확정된 염소 문

    switch_choice = [d for d in doors if d != first_choice and d != revealed][0]

    stay_win = (first_choice == prize)
    switch_win = (switch_choice == prize)

    results.append({
        'prize': prize,
        'first_choice': first_choice,
        'revealed': revealed,
        'switch_choice': switch_choice,
        'stay_win': stay_win,
        'switch_win': switch_win,
    })

stay_wins = sum(r['stay_win'] for r in results)
switch_wins = sum(r['switch_win'] for r in results)

print(f"총 경우의 수: {len(results)}")
print(f"처음 선택 유지 시 승리: {stay_wins}회 ({stay_wins / len(results):.0%})")
print(f"선택을 바꿨을 때 승리: {switch_wins}회 ({switch_wins / len(results):.0%})")

코드를 돌려보니 확실히 선택을 바꾸는 쪽이 유리하다. 신기하다 👍

 

사실 직감이 단순히 근거 없는 끌림이라고는 생각하지 않는다.
지금까지의 삶에서 쌓인 경험들을 바탕으로, 뇌가 아주 빠르게 판단을 내리는 과정이라고 믿는다.
다만 그 판단의 이유를 명확히 이해하거나 설명할 수 없기 때문에, 그것을 '끌림' 혹은 '직감'으로 느낄 뿐이다.

그렇기에 본능적인 선택이 도움이 되는 순간도 분명히 존재한다.
하지만 모든 상황이 그런 것은 아니다.
특히 몬티 홀 문제와 같이 명확한 계산이 가능한 상황이라면, 본능에만 의존하기보다
잠시 숨을 돌리고 계산해보는 습관을 들이는 것이 좋을 것 같다.